Cuando una persona está resfriada, es común que estornude o tosa con cierta frecuencia, expulsando aire por su boca gracias a la contracción de ciertos músculos, como por ejemplo el estómago.
Si bien el estómago no es el culpable de tal proceso, la frase lo coloca en tal situación para endilgarle que está exteriorizando algo que se guardaba en el interior. A partir de lo dicho, estómago resfriado se le dice a aquellas personas que no guardan un secreto y siempre están dispuestas a contar algo que no debían.
Fuente: https://sigificadoyorigen.wordpress.com/2010/05/03/estomago-resfriado/