Los perros no suelen ser vegetarianos (es decir, que no comen mayoritariamente verduras) así que son un buen guardián de un huerto (ya que no se comerán los productos que en él se cultivan) y tampoco dejarán que otros animales que sí son vegetarianos se acerquen para comerse la producción del huerto.
Por eso se dice que el perro del hortelano ni come (porque no se come las verduras de su amo) ni deja comer (porque no deja que otros se las coman tampoco). Y gracias a Lope de Vega que en su obra El Perro del Hortelano usaba el símil del perro del hortelano en un amor escondido entre Diana, condesa de Belflor, y su secretario, Teodoro, este hecho se ha extendido a las personas para cuando ni hacen una cosa ni dejan que los demás la hagan tampoco.
Ejemplo: La ex de Juan no se aclara, no quiere volver con él pero tampoco le deja que salga con ninguna otra chica. Ella es como el perro del hortelano, que ni come, ni deja comer.
Ejemplo 2: Ese niño tiene un montón de juguetes y aunque no juega con ellos, tampoco deja que ningún otro niño lo haga. Es como el perro del hortelano, que ni come, ni deja comer.
La mayor parte de las veces que se usa esta expresión, simplemente se dice «es como el perro del hortelano», ya que no es necesario terminar la frase porque todo el mundo conoce el final,
Fuente: https://expresionesyrefranes.com/2007/05/27/ser-como-el-perro-del-hortelano-que-ni-come-ni-deja-comer/