Cuando dos personas se llevan mal entre ellas (discuten, nunca se ponen de acuerdo, tienen conflictos por cualquier motivo o simplemente no soportan estar juntas) se dice que se llevan como el perro y el gato.
Desde tiempos muy lejanos se sabe que los perros y los gatos no son precisamente buenos amigos (en general, porque siempre hay alguna que otra excepción) y por eso se los cogió como referencia para crear una frase como la de hoy que indica conflicto entre personas, continuas disputas y desacuerdos.
Así que ya sabéis, si en algún momento escucháis que dos personas se llevan como el perro y el gato, cuidado no os metáis en alguna de sus peleas.
Fuente: https://expresionesyrefranes.com/2008/03/01/llevarse-como-el-perro-y-el-gato/