Cuando un cono recto es intersectado con un plano paralelo a la generatriz del cono, el resultado es una parábola. Este hecho ya era conocido por los griegos y fue estudiado por Apolonio.
Ha sido útil para explicar la trayectoria de proyectiles, predecir en cuánto tiempo tardará en caer un cuerpo en caída libre y en economía es usada para saber en qué momento se alcanza un ingreso máximo o un costo mínimo. La parábola también se ha usado en el diseño de radio telescopios y calentadores solares.
Dada una recta 𝐿 en el plano, a la cual llamaremos Directriz de la Parábola y un punto 𝐹 fuera de la directriz, al cual llamaremos Foco; la parábola con foco en 𝐹 y directriz 𝐿, es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuya distancia al punto F es igual a su distancia a la directriz, es decir:
𝑃𝐹=𝑑(𝐿,𝑃)
El Eje Focal de la parábola es la recta perpendicular a la directriz 𝐿 y que pasa por el foco 𝐹.
Construcción de la parábola con regla y compás
Dada una directriz 𝐿 y un foco 𝐹 de una parábola podemos construir varios puntos que pertenezcan a esta parábola; para ello es suficiente con realizar los siguientes pasos.
Situación inicial
Trazar el eje focal de la parábola, es decir, una perpendicular a la directriz 𝐿 y que pase por el foco 𝐹.
Sea 𝑄 la intersección del eje focal con la directriz. Se tiene que el punto medio del segmento 𝑄𝐹¯ es un punto de la parábola al cual llamaremos Vértice de la parábola y la denotaremos con 𝑉.
Sobre el eje focal se ponen varios puntos 𝐴1,𝐴2,𝐴3,𝐴4, etc. y por ellos se trazan rectas paralelas a la directriz. Es conveniente que uno de esos puntos sea el foco de la parábola.
Con el compás se traza un arco de circunferencia con centro en el foco 𝐹 y radio 𝑄𝐴1; las intersecciones del arco recién trazado con la recta paralela a la directriz que pasa por 𝐴1, son puntos sobre la parábola con foco en 𝐹 y directriz 𝐿.
Se tiene que 𝐹𝑃1=𝑄𝐴1 y el cuadrilátero 𝑅𝑄𝐴1𝑃1 es un rectángulo por lo cual 𝑅𝑃1=𝑄𝐴1:
𝑑(𝐿,𝑃1)=𝑅𝑃1=𝑄𝐴_1=𝐹𝑃1
De donde se concluye que el punto 𝑃1 es un punto sobre la parábola con foco en 𝐹 y directriz 𝐿.
Con el compás se traza un arco de circunferencia con centro en el foco 𝐹 y radio 𝑄𝐴2; las intersecciones del arco recién trazado con la recta paralela a la directriz que pasa por 𝐴2, son puntos sobre la parábola con foco en 𝐹 y directriz 𝐿
De manera similar se procede para los demás puntos sobre el eje focal
Al unir los puntos se obtiene el esbozo de una parábola
Elementos y características de la parábola de la parábola
La siguiente figura muestra otros elementos importantes de la parábola, además del foco, directriz y eje focal.
Un segmento que une dos puntos de una parábola se llama cuerda, como por ejemplo el segmento 𝐴𝐵¯, una cuerda que pasa por el foco de la parábola es llamada cuerda focal, como el segmento 𝐶𝐷¯ y la cuerda focal que es perpendicular al eje focal es llamado lado recto de la parábola, en este caso es el segmento .
Características de la parábola
Denotaremos con 𝑝 a la longitud del segmento 𝑉𝐹¯, es decir:
𝑝=𝑉𝐹.
Con lo anterior tendremos lo siguiente
𝑑(𝐿,𝑃)=𝑄𝐹=2𝑉𝐹=2𝑝
𝑅𝑅′=2𝐹𝑅=2𝐹𝑄=2(2𝑝)=4𝑝
Lo anterior establece que la longitud del lado de una parábola es igual a cuatro veces la distancia del foco al vértice, de manera equivalente al doble de la distancia entre el foco y la directriz de la parábola.
Los puntos 𝑃 y 𝑃′ son puntos de la parábola y el punto 𝐴 es el punto medio del segmento 𝑃𝑃¯’, lo anterior nos lleva a concluir que 𝑃 y . son simétricos con respecto al eje focal de la parábola. Como lo anterior ocurre para todos los puntos de la parábola podemos concluir que la parábola es simétrica y su eje de simetría es su eje focal.
Para cuestiones de diseño, basta con establecer, de antemano, la posición del foco y del vértice para definir todos los puntos de la parábola. La figura 3 muestra una de las características de la parábola que es aprovechada en el diseño de radios telescopios y en las estufas solares.
Cuando un rayo incide en un objeto con forma de parábola y lo hace de tal manera que sigue una trayectoria paralela al eje foco, se reflejará de tal modo que pasará por el foco. Debido a esta propiedad, los radiotelescopios tienen forma parabólica porque las señales se concentran en el foco y es por eso por lo que es el lugar apropiado para la antena receptora. Algo parecido sucede con una estufa solar, donde los rayos del sol se concentran en el foco.
De manera análoga, si un faro tiene una forma parabólica; al colocar una fuente de luz en el foco de la parábola, éstos se reflejarán de tal modo que los rayos saldrán paralelos al eje focal.