En casi cualquier lugar del mundo hay un juego que consiste en lanzar un objeto hacia una diana, hacia un punto… es decir, un juego de puntería.
Normalmente se tiran piedras, bolas, fichas… y hace mucho tiempo, en España también se jugaba tirando trozos de teja que había por las calles cuando un fragmento de los tejados de las casas se caía. Ese juego recibió el nombre de «tejo» y cuando los chicos jugaban en las plazas de los pueblos, a veces desviaban sus tiros hacia la chica que les gustaba para atraer su atención (apuntaban cerca de los pies de las muchachas, no vayáis a pensar que golpeaban con las tejas a las pobres chicas) y de esa forma tenían excusa para acercarse a ellas cuando iban a recoger su tejo y sonreírles, comentarles algo, etc.
Poco a poco se fue ampliando el uso de esta expresión, «tirar los tejos», a cuando una persona hace o dice algo para intentar ligar con otra, hasta hoy en día, porque la verdad es que todavía se usa mucho.
Se suele decir, «uy, mira a José, parece que le está tirando los tejos a María, no para de mirarla y decirle cosas bonitas».
Fuente: https://expresionesyrefranes.com/2007/04/23/tirar-los-tejos/