Antiguamente cuando no había teléfonos móviles, ni empresas de mensajería como UPS o FedEx, cuando la mayor parte de la gente ni siquiera sabía escribir, se utilizaban personas para transmitir mensajes (los cuales, también eran llamados mensajeros).
Dicho mensaje se le decía de palabra al mensajero quien debía correr a decírselo al destinatario (a la persona a la que iba dirigida el mensaje).
La acción transcurría de una forma parecida a lo siguiente (esto es un diálogo):
Remitente: «Corre, ve y dile al Sr. López que el Sr. Alcalde quiere verle».
Mensajero: «Si Señor. Ahora mismo voy a decírselo al Sr. López».
Y debido a que los mensajeros siempre escuchaban lo de «corre, ve y dile» antes de cada mensaje, se les empezó a llamar correveidiles.
Por otro lado, al transmitir mensajes de unas personas a otras, al final estos mensajeros disponían de un montón de información y se enteraban de todo lo que pasaba en el pueblo o en el núcleo en el que vivían. Y como no nos gusta perder palabras del pasado, hoy en día, aunque ya no haya mensajeros como los de antes, a todo el que va contando las cosas de los demás, a los cotillas, los que hablan de las cosas de unos y otros, se le llama correveidiles.
Fuente: https://expresionesyrefranes.com/2007/12/14/ser-un-correveidile/