En el pasado, cuando un militar incurría en delito de infamia y los superiores disponían separarlo del Cuerpo, se procedía a destemplar («destruir la concordancia o armonía con que están templados los instrumentos musicales») el parche de las cajas o tambores y, redoblando así sobre ellos, se realizaba la degradación pública del acusado.
Asimismo, de esta manera -con el acompañamiento de cajas destempladas o desafinadas- eran conducidos los reos condenados a muerte al cadalso donde iban a ser ajusticiados. En la actualidad, la expresión echar con cajas destempladas se aplica para despedir a alguien (sin necesidad de que sea exclusivamente militar) de determinado lugar, pero acompañado de acritud y malos modos, cuando no con gritos e insultos.
Fuente: http://www.ciudad-real.es/varios/dichos/e.php